Как написать математическую статью по-английски - страница 4



но обычно этим штампам предшествует пояснение о том, как эта самая формула выходит. Приведём определенные примеры более фаворитных пояснений.

Using (2.7), we get формула.

If we combine this with Lemma 1, we get формула.

Combining (11), (17) and (7), we Как написать математическую статью по-английски - страница 4 obtain формула.

Substituting 2x for u in (3.2), we get формула.

If we replace u by 2x in (3.2), we obtain формула.

Since [утверждение], it follows that формула.

Adding 3Δ2 to both Как написать математическую статью по-английски - страница 4 sides, we get формула.

Multiplying both sides by T(x), we obtain формула.

Summing (2.1), (2.5), and (2.7), we get формула.

Subtracting (1.7) from (1.2), we get формула.

Вот ещё несколько более особых примеров:

Integrating (3.1) in x, we obtain формула Как написать математическую статью по-английски - страница 4.

By Lemma 3, формула, so that формула.

The integral (3.2) is majorized by формула.

Now if we recall (1.3) and (2.7), we get формула.

It now follows that формула.

Now, by Property (5), формула.

The application Как написать математическую статью по-английски - страница 4 of Theorem 5 yields ...

Поближе к концу вычислений уместны последующие обороты:

Finally, we obtain формула.

The result is формула.

Thus we have формула.

To conclude the proof, it remains to note that Как написать математическую статью по-английски - страница 4 формула.

Заключительным аккордом данного вычисления может прозвучать стандартная фраза

This completes the proof of  Theorem 3.




§25. Как вводить алгебраические структуры


Алгебраические тексты писать, обычно, до боли просто, и обычно хватает тех штампов, что Как написать математическую статью по-английски - страница 4 были описаны в §§ 7, 20–23. Тут мы ограничимся несколькими специфичными оборотами, связанными с введением бинарных операций.

LET THE объект BE THE объект
WITH RESPECT TO THE объект


Let Zm be the group of integers modulo m Как написать математическую статью по-английски - страница 4 with respect to the sum operation.

Let Mat(n) be the algebra of square n×n matrices with respect to the ordinary multiplication of matrices.

По сути «хвост» with respect to (с следующим Как написать математическую статью по-английски - страница 4 описанием алгебраической операции, либо другой структуры) нередко употребляется не только лишь в статьях по алгебре. Приведём два примера:

^ W is a Banach space with respect to the norm || · ||.

The sequence Как написать математическую статью по-английски - страница 4 { fn} has a finite limit with respect to the weak topology.

Для более определенного описания бинарной операции полезен последующий штамп:

DEFINE THE объект OF TWO
понятия AS THE объект


Define the convolution Как написать математическую статью по-английски - страница 4 of two functions  f , g  W as the integral ∫ Kf ·g dx.

Define the product of two equivalence classes {a}, {b} mod p as {a}·{b} = {a·b} mod p.

В алгебраических Как написать математическую статью по-английски - страница 4 построениях нередко приходится иметь дело с классами эквивалентностей, а потом обосновывать правильность определений и конструкций. Тут можно воспользоваться таким оборотом:

THE объект IS WELL DEFINED


снабжая его подходящим вводным выражением, к примеру,

^ It is easy Как написать математическую статью по-английски - страница 4 to prove that the product {a}·{b} is well defined.

Obviously, the scalar product is well defined.

(Имейте ввиду, что слово correct значит «правильно», а совсем не корректно).

Приведём один Как написать математическую статью по-английски - страница 4 стандартный оборот, нередко применяемый в гомологической и категорной алгебре:

CONSIDER THE FOLLOWING COMMUTATIVE DIAGRAM:


за которым, очевидно, следует обещанная диаграмма; по мере надобности слово commutative можно опустить, а заместо consider сказать we have либо we Как написать математическую статью по-английски - страница 4 get.




§26. Как обрисовывать соответствия, отображения и функции


Как и в случае определений (ср. § 21), более пользующийся популярностью метод устанавливать соответствия (на российском языке): тому-то поставим в соответствие то-то при Как написать математическую статью по-английски - страница 4 дословном переводе на британский звучит нелепо (и, вероятнее всего, будет непонятным английскому читателю).

Если мы хотим сохранить естественный порядок «прообраз, потом образ», можно воспользоваться конструкцией

ТО EACH термин ASSIGN термин


То each point x assign Как написать математическую статью по-английски - страница 4 the point y = x2.

но по-английски более нередко встречается оборотный порядок:

термин CORRESPONDS TO термин


^ The point y = x2 corresponds to the point x.


термин IS ASSIGNED TO термин


^ The Как написать математическую статью по-английски - страница 4 point y = x2 is assigned to x.

Очевидно, слова assign и correspond можно подменять стрелками, как к примеру в конструкции

LET термин BE GIVEN BY формула


Let the map  f  be given by Как написать математическую статью по-английски - страница 4 x →  f (x) = x2.

Более подробное описание отображения (с указанием области определения и огромного количества значений) даётся так:

LET термин BE THE MAP OF (термин} TO термин
SUCH THAT формула FOR Как написать математическую статью по-английски - страница 4 ALL термин


Let  f  be the map of  R to R such that  f (x) = x2 for all x  R.

Если отображение не везде определено, предлог of необходимо поменять на from, как, к примеру, в Как написать математическую статью по-английски - страница 4 предложении

LET термин BE THE MAP FROM термин
TO термин SUCH THAT [утверждение]


Let √   be the map from  R to R such that (√ x)2 = x and x ≥ 0.

Но, пожалуй, более пользующаяся популярностью конструкция Как написать математическую статью по-английски - страница 4 для построения отображений — последующая:

LET THE    TAKE EACH    TO   


Тут 1-ый пробел заполняется заглавием отображения (функции), а следующие — прототипом (аргументом) и образом (значением функции), к примеру,

Let the function  f  take Как написать математическую статью по-английски - страница 4 each point x to x2.

Let the homomorphism φn take each element g  G to the conjugate element φn(g) = h–1gh.

Let the projection p3 take each point (x Как написать математическую статью по-английски - страница 4, y, z) to (x, y, 0).

Если мы желаем выделить, что тут даётся обозначение для вводимого отображения, можно воспользоваться последующими вариациями предшествующего оборота:

LET термин BE THE объект THAT
TAKES EACH термин TO термин


Let p Как написать математическую статью по-английски - страница 43 be the projection that takes each point (x, y, z) to (x, y, 0).


DENOTE BY термин THE объект THAT
TAKES EACH термин ТО термин


Denote by p3 the projection that takes each point Как написать математическую статью по-английски - страница 4 (x, y, z) to (x, y, 0).

Заметим, что последнее определение лучше выражается при помощи 1-го из общих штампов для определений (§ 21), к примеру:

By p3: R3 → R2 denote the projection along the z-axis Как написать математическую статью по-английски - страница 4.

Если же мы описываем действие отображения (к примеру, введённое ранее либо вводимое по ходу дела), то комфортна последующая конструкция:

THE термин TAKES термин TO термин


К примеру,

^ The projection Как написать математическую статью по-английски - страница 4 along the z-axis takes the plane x = y to the main diagonal of the xy-plane.

The canonical homomorphism φ: G → G/H takes each element g  G to the corresponding coset Как написать математическую статью по-английски - страница 4 gH  G/H.

Направьте внимание, что глагольная форма takes (также take) применяется не только лишь к отдельным точкам, да и к огромным количествам.

Заметим раздельно, что выражение при отображении переводится как under the Как написать математическую статью по-английски - страница 4 map, так что молвят, к примеру,

^ The image of X under the map p3 is p3(X).

The inverse image of an element of G/H under the canonical homomorphism G → G/H Как написать математическую статью по-английски - страница 4 is a coset.

Два других принципиальных выражения с предлогами — это extention to и restriction to. Вот вам наглядный пример их использования:

BY термин DENOTE THE RESTRICTION OF
термин TO термин


By  f Как написать математическую статью по-английски - страница 4 |A denote the restriction of  f  to the subset A  X.


LET термин BE THE EXTENSION OF термин TO термин ...


Let  f  be the extension of  f  to Y  X by the identity on Как написать математическую статью по-английски - страница 4 the set Y\X.

Обратите тут внимание на внедрение предлогов of и by.




§27. Как обрисовывать топологические и геометрические построения


Это, наверняка, сложнее всего. Очевидно, я не берусь научить вас писать на том образном Как написать математическую статью по-английски - страница 4, но ясном языке, которым пользуются такие создатели, как Милнор, Берже либо Кокстер. Читателю придётся сдерживать своё рвение к приятным описаниям и писать формально и сухо. Начнём с описания конструкций, встречающихся в геометрии Как написать математическую статью по-английски - страница 4 и геометрической топологии.

С этой целью мы перечислим ряд глаголов, описывающих те либо другие геометрические деяния, помещая в скобках подходящие к ним предлоги 12:

move, shift, bend, push (to, along Как написать математическую статью по-английски - страница 4, into, away from);

project (on, along);

embed (in, into, by);

map (to, onto, into);

restrict (to);

identify (with);

attach, glue, paste (to, along, together);

collapse (to, onto);

join (with, to);

remove (from);

put Как написать математическую статью по-английски - страница 4 in general position (with respect to);

extend (to, by).

Эти глаголы можно использовать в повелительном наклонении (сначала фразы либо после слов let us), также в ing-овой форме (сначала фразы, с следующим переходом к Как написать математическую статью по-английски - страница 4 продолжению за счёт оборота типа we obtain либо we can assume that). Вот несколько примеров:

^ Move the variety V away from C along the trajectories of the vector field X.

Let Как написать математическую статью по-английски - страница 4 us attach the handle Dk × Dn–k to the manifold W along the base Sk–1 × Dn–k  ∂W.

Putting M in general position with respect to F, we can assume that dim Как написать математическую статью по-английски - страница 4 (M  F) = 0.

Gluing together the neighborhoods Ui, we obtain the manifold M.

Значительную часть геометрических текстов составляет обсуждение разных отображений, но для этого хватает оборотов, приведённых в § 24 (см. также приложение I, пункт Как написать математическую статью по-английски - страница 4 (G)).

Некой экономии места при описании отображений можно достигнуть, добавляя деепричастия к глаголу map (либо глаголам, перечисленным сначала этого параграфа). Вот несколько таких деепричастий: continuously, diffeomorphically, smoothly, isometrically, analytically, birationally Как написать математическую статью по-английски - страница 4.

Примеры:

Extend the map Φ smoothly to all of  Rn.

The projection p maps M diffeomorphically onto N.




§28. Комменты и ссылки


Я не рекомендую начинающим создателям пробовать вложить глубочайший либо узкий смысл в комменты, а Как написать математическую статью по-английски - страница 4 советую ограничиваться для безопасности стандартными оборотами.

Для начала, вот несколько методов обойти подтверждение за счёт комментария:

THE PROOF IS   


^ The proof is omitted.

The proof is trivial.

The proof is given in § 5.

The proof Как написать математическую статью по-английски - страница 4 is found in [2].


THIS ссылка WAS PROVED BY   


^ This lemma was proved by Smale (see [2]).

This was proved by Postnikov in [5].


THIS ссылка CAN BE PROVED BY   


^ This lemma Как написать математическую статью по-английски - страница 4 can be proved by standard methods of KAM theory.

This theorem can be proved by direct calculations.

Если вы всё же отважились привести подтверждение, но начинаете со вспомогательных утверждений, можно высказаться так:

ТО Как написать математическую статью по-английски - страница 4 PROVE ссылка, WE NEED ссылка


^ То prove Theorem 2, we need several lemmas.

To prove this statement, we need some notation.

Если вы будете обосновывать от неприятного, то можно сказать:

The proof Как написать математическую статью по-английски - страница 4 is by reductio ad absurdum.

Но это несколько старомодно, и лучше начать так:

ASSUME THE CONVERSE. THEN ...


Окончить тогда можно стандартной фразой

THIS CONTRADICTION PROVES   


^ This contradiction proves the theorem,

либо композицией из 2-ух Как написать математическую статью по-английски - страница 4 фраз, которую мы сходу проиллюстрируем примером:

This contradicts Lemma 2.1. The theorem is proved.

Если вы доказываете что-то по индукции, то можно начать так:

THE PROOF IS BY INDUCTION ON   


Заместо on в последние Как написать математическую статью по-английски - страница 4 годы многие арифметики молвят over.

The proof is by induction on n.

The proof is by induction over the dimension of V.

Продолжить можно (время от времени) штампом

FOR   , THERE IS NOTHING TO Как написать математическую статью по-английски - страница 4 PROVE


^ For n = 1, there is nothing to prove.

Этот штамп бывает полезен и в других контекстах, к примеру,

For the case M = CP2, there is nothing to prove.

В процессе индукции нередко Как написать математическую статью по-английски - страница 4 употребляются штампы

BY THE INDUCTION HYPOTHESIS, ...




BY THE INDUCTIVE ASSUMPTION, ...





^ By the induction hypothesis, an–1 is divisible by b.

By the inductive assumption, φn–1 is injective.

Если вы доказываете разбором случаев Как написать математическую статью по-английски - страница 4 либо поэтапно, полезны последующие штампы:

LET US CONSIDER    CASES. CASE 1: ...




THE PROOF IS IN    STEPS. STEP 1: ...





В обоих случаях пробелы    заменяются числом.

Нередко в математических текстах подчёркивается полезность чего-либо для предстоящего, и хотя без Как написать математическую статью по-английски - страница 4 схожих комментариев отлично возможно обойтись, мы приведём одну такую конструкцию:

THE FOLLOWING    ARE NEEDED FOR THE SEQUEL


^ The following lemmas are needed for the sequel.

Время от времени необходимо указывать на сравнительную силу Как написать математическую статью по-английски - страница 4 тех либо других утверждений; тут работают такие штампы:

ссылка IS STRONGER THAN ссылка




ссылка IS WEAKER THAN ссылка





^ Theorem 2.1 is stronger than Theorem A in [3].

The following condition is Как написать математическую статью по-английски - страница 4 weaker than (2.5).

This assumption is stronger than condition (i).

В обрисованных тут комментах уже появились ссылки на литературу, а именно в более стандартном виде, конкретно

(SEE номер)


Приведём несколько более сложных примеров ссылок:

IN Как написать математическую статью по-английски - страница 4 ссылка, создатель PROVED THAT [...]


^ In his paper [3], Rokhlin proved that П3 = 0.


ссылка WAS CONSIDERED BY создатель IN ссылка


The case n = 2 was considered by Mostow in [5].

Morse theory for sheaves was developed by Как написать математическую статью по-английски - страница 4 Hirsch in his book [2].

Очевидно, мы ограничились тут очень маленьким диапазоном штампов-комментариев. Расширять этот диапазон можно, пользуясь конструкциями, отысканными у англо-саксонских математиков, но начинающим создателям (также уверенным в себе Как написать математическую статью по-английски - страница 4 маститым) я напористо советую сводить комменты к минимуму.




§29. Введение к статье


Тут, как и в почти всех других разделах, мои советы — быстрее негативного характеристики: пишите очень недлинные введения, ограничиваясь, к примеру, одной Как написать математическую статью по-английски - страница 4 фразой:

THE AIM OF THIS PAPER IS TO PROVE THE FOLLOWING ...
(дальше следует формулировка основного результата)










IN THIS PAPER, FOLLOWING 

ссылка
создатель

, WE CONSIDER ...








Ещё лучше, напишите в виде заголовка слово

Introduction ,


коротко сформулируйте главные (новые) определения и Как написать математическую статью по-английски - страница 4 результаты, попутно сошлитесь на близкие работы:

THIS GENERALIZES RESULTS OF 

ссылка
создатель









THIS STRENGTHENS A THEOREM OF 

ссылка
создатель









USING METHODS OF 

ссылка
создатель

, WE SHOW THAT ...








опишите план статьи (если она не очень маленькая):

THIS Как написать математическую статью по-английски - страница 4 PAPER IS ORGANIZED AS FOLLOWS. IN § 1, WE ...


и, в конце концов, поблагодарите научного управляющего:

THE AUTHOR IS GRATEFUL TO PROFESSOR   
FOR CONSTANT ATTENTION TO THIS WORK ...


и /либо сотруднику:

... AND TO    FOR USEFUL Как написать математическую статью по-английски - страница 4 DISCUSSIONS


В современных работах благодарности нередко выражаются под заголовком

Acknowledgements


и включают стандартную фразу

THIS RESEARCH WAS PARTIALLY SUPPORTED BY ...


где заместо многоточий стоит что-то вроде an AMS fSU grant. Полезен и таковой оборот: This Как написать математическую статью по-английски - страница 4 research was carried out while the author was visiting at (...) либо I would like to express my gratutude to professor (...) for his hospitality.

Но всем этим не стоит увлекаться. Пусть чётко изложенное математическое Как написать математическую статью по-английски - страница 4 содержание вашей статьи гласит само за себя!



ПРИЛОЖЕНИЯ
 




^ I. Перечень МАТЕМАТИЧЕСКИХ ШТАМПОВ


Для тех читателей, которые обратились к этому приложению, не прочитав главные разделы книжки (§§ 5–9, 11), отмечу, что, обычно, предложения британского математического языка Как написать математическую статью по-английски - страница 4 можно строить, сочитая штампы при помощи так именуемых разделителей (таких словечек, как where, such that и т.п.). Потому я советую хотя бы просмотреть §§ 7–9 (где разъясняется смысл слов термин, черта, ссылка и поясняется Как написать математическую статью по-английски - страница 4, как обращаться с артиклями) и § 11 (разделители), до того как строить предложения по нижеследующим перечням штампов.

Начинающему читателю я безотступно рекомендую твёрдо усвоить главные штампы (их всего 12), по собственному усмотрению выписать Как написать математическую статью по-английски - страница 4 и освоить ещё штук 10–20 и, пролистав пару статей по собственной специальности 13, отобрать из их ещё штук 10. С приобретенным перечнем из 30–40 штампов стоит малость поупражняться (покомбинировать их при помощи разделителей, как в § 11) и добавить избранный Как написать математическую статью по-английски - страница 4 по вкусу перечень вводных выражений (см. § 13 и Приложение II). После чего можно начинать писать текст собственной статьи на этой базе. При всем этом нужно не переводить, а пересказывать российский текст, а ещё лучше Как написать математическую статью по-английски - страница 4 сходу писать по-английски из головы либо по предварительным формульным записям.




(A) Главные штампы


Эти штампы употребляются повсевременно во всех математических текстах. В обыденных английских статьях они составляют от 60 до 70% оборотов Как написать математическую статью по-английски - страница 4. Сочитая их, можно в принципе выразить фактически всякую математическую семантику. Менторски, что практически все главные штампы пословно не переводятся, либо плохо переводятся на российский — это чисто английские идиомы. Для читателей, освоивших различие меж «объектами Как написать математическую статью по-английски - страница 4» и «понятиями» (§§ 9, 10), отметим, что в штампах из этого перечня посреди определений мы не различаем объекты и понятия, и потому не указываем артикли; читателя, не обладающего этим искусством, мы отсылаем к Как написать математическую статью по-английски - страница 4 §§ 9, 10. Вобщем, верно расставить артикли помогают приведённые после каждого штампа примеры внедрения этих штампов.

1. термин IS черта.

The function  f  is continuous.

Функция  f  — непрерывна.

2. термин IS термин.

The set R is Как написать математическую статью по-английски - страница 4 a ring.

Огромное количество R является кольцом.

3. CONSIDER термин.

Consider the point (1,1)  R2.

Разглядим точку (1,1)  R2.

4. WE HAVE выделенная формула.

We have

sin2 x + cos2 x = 1.

(1)

Имеем

sin2 x + cos2 x = 1.

(1)


5. LET знак либо термин BE термин Как написать математическую статью по-английски - страница 4.

Let V be a vector space.

Пусть V — векторное место.

6. FOR ANY знак либо термин THERE EXISTS термин.

For any continuous map  f : I → I  there exists a fixed Как написать математическую статью по-английски - страница 4 point c  I.

Для хоть какого отображения  f : I → I  существует недвижная точка c  I.

7. BY знак DENOTE термин.

By R denote the set of real numbers.

Обозначим через R огромное количество реальных чисел.

8. IT Как написать математическую статью по-английски - страница 4 FOLLOWS FROM ссылка THAT [утверждение].

It follows from Lemma 2 that α is injective.

Из Леммы 2 следует, что α инъективно.

9. термин IS CALLED определяемое понятие IF [утверждение].

^ A manifold is called acyclic if Hi Как написать математическую статью по-английски - страница 4(M) = 0 (i > 0).

Обилие именуется ацикличным, если Hi(M) = 0 (i > 0).

The map s: B → E is called a section of  ξ  if  ξ ○ s = id.

Отображение s: B → E именуется сечением расслоения ξ, если ξ ○ s = id Как написать математическую статью по-английски - страница 4.

10. IF [утверждение], THEN [утверждение].

If D( f ) is compact, then  f  is bounded.

Если D( f ) — компактно, то  f  — ограничена.

11. [утверждение] IF AND ONLY IF 14 [утверждение].

A closed 3-manifold M Как написать математическую статью по-английски - страница 4 is S 3 if and only if  π1M = 0.

Замкнутое трёхмерное обилие M является сферой S 3 и тогда только тогда, когда π1M = 0.

12. термин HAS THE FORM формула либо ссылка.

The simplest parabola has the form Как написать математическую статью по-английски - страница 4 x2 = y.

Простая парабола имеет вид x2 = y.




(B) Модификации главных штампов


Тут собраны видоизменения главных штампов (связанные, к примеру, с множественным числом); они обозначены теми же номерами, только со штрихами.

1′. определения Как написать математическую статью по-английски - страница 4 ARE черта.

^ The numbers 5 and 17 are prime.

Числа 5 и 17 — обыкновенные.

2′. определения ARE определения.

Z and Q are abelian groups.

Z и Q — абелевы группы.

Направьте внимание на буковку s, указывающую на множественное число в конце Как написать математическую статью по-английски - страница 4 примера 2′, и на её отсутствие в примере 1′: по-английски прилагательные неизменяемы по числу.

Добавляя слово not после is либо are, мы получаем логические отрицания штампов 1, 2, 1′, 2′.

3′. TAKE термин.

Take a Как написать математическую статью по-английски - страница 4 point x  X.

Возьмём точку x  X.

Этот оборот синонимичен штампу 3, им следует воспользоваться, чтоб варьировать речь. Аналогичную (стилистическую) роль играют обороты 4′ и 4″ по отношению к 4:

4′. WE GET выделенная формула.

4″. WE OBTAIN выделенная формула Как написать математическую статью по-английски - страница 4.

5′. LET определения BE определения.

^ Let x, y, z be the coordinates in R3.

Пусть x, y, z — координаты в R3.

5″. LET термин либо знак BE термин, термин либо знак BE термин Как написать математическую статью по-английски - страница 4, ...

^ Let M be a manifold, X be a vector field on M, and x0  M be the initial point.

Пусть M — обилие, X — векторное поле и x0  M — исходная точка.

По-английски категорически Как написать математическую статью по-английски - страница 4 нельзя подменять повторяемый глагол на тире, а слово be лучше повторять; направьте внимание на запятую перед and (ср. с § 11).

В штампе 6 можно опустить исходные  for any.

6′. THERE EXISTS термин.

^ There exists a Как написать математическую статью по-английски - страница 4 nontrivial smooth solution of  the Bellman equation.

Существует нетривиальное гладкое решение уравнения Беллмана.

Множественное число выходит так:

6″. THERE EXIST термин.

^ There exist two maximums of the function  f.

У функции  f  есть два Как написать математическую статью по-английски - страница 4 максимума.

Добавляя слово unique после exists, получаем последующие принципиальные штампы.

6′′′. FOR ANY термин либо знак there exists a unique термин.

^ For any bounded sequence there exists a unique least upper bound.

Для Как написать математическую статью по-английски - страница 4 хоть какой ограниченной последовательности существует единственная четкая верхняя грань.

6′′′′. THERE EXISTS A UNIQUE термин.

^ There exists a unique nontrivial subgroup of  G.

Существует единственная нетривиальная подгруппа группы G.

7′. LET Как написать математическую статью по-английски - страница 4 знак DENOTE термин.

Let p0 denote the largest prime.

Обозначим через p0 наибольшее обычное число.

8′. BY ссылка, IT FOLLOWS THAT [утверждение].

By Lemma 1, it follows that V is semialgebraic.

Из леммы 1 следует, что V — полуалгебраическое Как написать математическую статью по-английски - страница 4 огромное количество.

8″. USING ссылка, WE GET [утверждение].

Using (5.3), (5.7), and (6.2), we get

w*(L) = 0.

(6.3)

Пользуясь (5.3), (5.7) и (6.2), мы получаем

w*(L) = 0.

(6.3)


9′. термин IS CALLED определяемое понятие.

The number Δ = b2 – 4ac is called the Как написать математическую статью по-английски - страница 4 discriminant of equation (1).

Число Δ = b2 – 4ac именуется дискриминантом уравнения (1).

9″. определения ARE CALLED определяемые понятия.

^ Solutions of the equation |A – λE| = 0 are called eigenvalues of  A.

Решения уравнения |A – λE| = 0 именуются своими значениями оператора A.

Если Как написать математическую статью по-английски - страница 4 утверждения в штампе 10 довольно длинноватые, можно разбить фразу на две последующим образом:

10′. SUPPOSE [утверждение]; THEN [утверждение].




(C) Определения и обозначения


Под этим заголовком можно было бы поместить штампы 7, 7′, 9, 9′ и 9″, но они попали в Как написать математическую статью по-английски - страница 4 «основные». Тут приводятся наименее ходовые.

13. термин IS SAID TO BE заглавие IF [утверждение].

^ A group G is said to be commutative if g′, g″  G,   g′  g″ = g″  g′.

Молвят, что Как написать математическую статью по-английски - страница 4 группа G коммутативна, если g′, g″  G,   g′  g″ = g″  g′.

A set with operations ,  is said to be an idempotent semiring if the operations satisfy conditions (1) ...

Молвят, что огромное количество с операциями Как написать математическую статью по-английски - страница 4 ,  есть идемпотентное полукольцо, если эти операции удовлетворяют условиям (1) ...

14. ... ; THEN THIS термин IS CALLED заглавие.

... ; then this group is called abelian.

... ; тогда эта группа именуется абелевой.

... ; then this set is called Как написать математическую статью по-английски - страница 4 the convex hull of A.

... ; тогда это огромное количество именуется выпуклой оболочкой множества ^ A.

15. WE SAY THAT термин HAS заглавие IF [утверждение].

We say that the polynomial p(x) = anxn + ... + a Как написать математическую статью по-английски - страница 40 has degree n, if  an  0.

Молвят, что полином p(x) = anxn + ... + a0 имеет степень n, если an  0.

16. термин IS CALLED заглавие IF THE FOLLOWING CONDITIONS HOLD: (i) [утверждение]; (ii) [утверждение]; ...

^ A set with operations Как написать математическую статью по-английски - страница 4 ,  is called an idempotent semiring if the following conditions hold:
(i) a  (b  c) = (a  b)  (a  c); (ii) ...

Огромное количество с операциями ,  именуется идемпотентным полукольцом, если выполнены последующие условия:
(i Как написать математическую статью по-английски - страница 4) a  (b  c) = (a  b)  (a  c); (ii) ...

17. WE SAY THAT термин IS заглавие AND WRITE знак.

We say that the set {xE : xA} is the complement of  A and write Как написать математическую статью по-английски - страница 4 A = E\A.

Молвят, что огромное количество {xE : xA} является дополнением к A, его обозначают A = E\A.

18. BY DEFINITION, PUT формула.

By definition, put

 f ′(x0) = 

lim

 f (x Как написать математическую статью по-английски - страница 40 + h) – f (x0) 

h

 .




h → 0










По определению полагаем

 f ′(x0) = 

lim

 f (x0 + h) – f (x0) 

h

 .




h → 0













(D) Вычисления


При описании вычислений в большинстве случаев употребляется штамп 4:

WE HAVE формула


либо конструкции, в каких формула конкретно следует за вводным Как написать математическую статью по-английски - страница 4 выражением:

THEREFORE, формула,
HENCE, формула.


Вводные выражения можно разнообразить; не считая 2-ух обозначенных выше рекомендуется использовать now, but, whence, so, it follows that, however.

Не считая штампа 4 (WE HAVE Как написать математическую статью по-английски - страница 4), более нередко употребляются его варианты; в простом виде:

19. WE GET формула.

20. WE OBTAIN формула.

Либо в более сложных вариантах:

21. USING ссылка, WE GET формула.

Using Theorem 2.3, we get W(x) = A–1 ○ B(x) ○ A.

Используя Как написать математическую статью по-английски - страница 4 аксиому 2.3, мы получаем W(x) = A–1 ○ B(x) ○ A.

Using (2.1), (8.3), and (8.4), we get X = ...

Воспользовавшись (2.1), (8.3) и (8.4), получаем X = ...

Когда этот штамп приедается, можно воспользоваться последующим.

22. TAKING INTO ACCOUNT ссылка Как написать математическую статью по-английски - страница 4, WE OBTAIN формула.

Taking into account Theorem 2.3, we obtain W(x) = A–1 ○ B(x) ○ A.

Используя аксиому 2.3, мы получаем W(x) = A–1 ○ B(x) ○ A.

23. COMBINING перечень ссылок, WE GET формула.

Combining (12), (13), and (24), we get Как написать математическую статью по-английски - страница 4 ...

Сочитая (12), (13) и (24), получаем ...

24. COMBINING THIS WITH ссылка, WE GET ...

Combining this with (21), we get Lemma 2.1.

Сопоставив это с уравнением (21), мы получаем лемму 2.1.

25. SUBSTITUTING    FOR    IN   , WE OBTAIN ...

Substituting 2x for Как написать математическую статью по-английски - страница 4 u in (25), we get ...

Заменяя u на 2x в формуле (25), получаем ...

26. ADDING    ТО BOTH SIDES, WE GET ...

Adding 3Δ2 to both sides, we get ...

Добавляя 3Δ2 к обеим частям, получаем ...

27. SUBTRACTING    FROM   , WE GET ...

Subtracting Как написать математическую статью по-английски - страница 4 this integral from (2.1), we obtain ...

Вычитая этот интеграл из (2.1), получим ...

28. MULTIPLYING BOTH SIDES BY   , WE GET ...

Multiplying both sides by T(y), we get ...

Умножив обе части на T(y Как написать математическую статью по-английски - страница 4), получим ...

29. SUMMING   , WE OBTAIN ...

Summing (21), and (73), we obtain ...

Складывая равенства (21) и (73), получаем ...

30. INTEGRATING    W.R.T. 15   , WE GET ...

Integrating (3.1) with respect to x, we get ...

Differentiating (3.1) w.r.t. x, we get ...

Интегрируя (дифференцируя) (3.1) по Как написать математическую статью по-английски - страница 4 x, получаем ...

31. INTEGRATING    OVER   , WE GET ...

Integrating this expression over M, we get ...

Интегрируя это выражение по области M, получаем ...

32. FROM   , WE GET THE FOLLOWING   : ...

From Lemma 3, we get the following Как написать математическую статью по-английски - страница 4 estimate: ...

Из леммы 3 выходит последующая оценка: ...




(E) Алгебра


Тут не много специфичных штампов.

33.    IS ISOMORPHIC ТО   .

^ The tensor product A  B is isomorphic to W.

Тензорное произведение A  B изоморфно W.

34. LET Как написать математическую статью по-английски - страница 4    BE    WITH RESPECT TO   .

Let GL(n) be the algebra of n×n-matrices w.r.t. matrix multiplication.

Пусть GL(n) — алгебра матриц размера n×n относительно матричного умножения.

35. LET    BE    OVER   .

^ Let Как написать математическую статью по-английски - страница 4 V be a finite-dimensional vector space over C.

Пусть V — конечномерное векторное место над полем C.

36. DEFINE THE    OF TWO    AS   .

Define the sum of  two residues mod Как написать математическую статью по-английски - страница 4 m as the residue mod m of their ordinary sum.

Определим сумму 2-ух вычетов по модулю m как остаток по модулю m их обыкновенной суммы.

37. THIS    IS WELL DEFINED.

^ This residue is well defined Как написать математическую статью по-английски - страница 4.

Этот вычет определён корректно.

38.    FORM A    UNDER   .

Unitary matrices form a group under multiplication.

Унитарные матрицы образуют группу по умножению.




(F) Соответствия и отображения


39. DEFINE    BY THE RULE   .

^ Define the map α: GL(n Как написать математическую статью по-английски - страница 4) → Rn² by the rule ||aij|| → (a11, ... , ann).

Определим отображение α по правилу ||aij|| → (a11, ... , ann).

40. LET    BE GIVEN BY   .

Let the mapping  f : C → R  be given by  f : z → 2|z Как написать математическую статью по-английски - страница 4|2.

Пусть отображение  f : C → R задано последующим образом:  f : z → 2|z|2.

41. LET THE    TAKE EACH    TO   .

Let the map y take each z to √ z, arg √ z ≤ π.

Пусть отображение y переводит каждое число z Как написать математическую статью по-английски - страница 4 в число √ z, arg √ z ≤ π.

42. LET    BE THE    FROM    TO    TAKING    TO   .

Let φ be the map from A to X 2 taking a  A to (j(a), 0)  X 2.

Пусть φ — отображение из A в X Как написать математическую статью по-английски - страница 4 2, переводящее a  A в (j(a), 0)  X 2.

43. DENOTE BY    THE    THAT TAKES EACH    TO   .

Denote by i* the isomorphism that takes each {c} to the class {i(c)}.

Обозначим через i Как написать математическую статью по-английски - страница 4* изоморфизм, переводящий каждый класс {c} в класс {i(c)}.

44. THE    TAKES    ТО   .

The operator d/dx takes the function  f (x) to  f ′(x).

Оператор d/dx переводит функцию  f (x) в  f Как написать математическую статью по-английски - страница 4 ′(x).

45.    UNDER THE    IS   .

The preimage of  1 under the map z → zn is the set e2πik/n, k = 0, ... , n–1.

Полный прототип числа 1 при отображении z → zn состоит из точек e2πik Как написать математическую статью по-английски - страница 4/n, k = 0, ... , n–1.

46. DENOTE BY    THE RESTRICTION OF    TO   .

Denote by  f |A the restriction of  f  to A  X.

Обозначим через  f |A ограничение  f  на A  X.

47. DENOTE Как написать математическую статью по-английски - страница 4 BY    THE EXTENSION OF    TO    BY   .

Denote by α the extension of α to the entire space Rn by the identity on Rn\X.

Обозначим через α продолжение отображения α на всё место Rn средством тождественного отображения Как написать математическую статью по-английски - страница 4 на Rn\X.

48. LET    BE GIVEN BY    ON    AND BY    ON   .

Let the map  f : A  B → X be given by  f (a) = φ(a) on A and by  f (b) = ψ(b Как написать математическую статью по-английски - страница 4) on B.

Пусть отображение  f : A  B → X задано формулой  f (a) = φ(a) на A и формулой  f (b) = ψ(b) на B.




(G) Геометрия и топология


Специальные конструкции, применяемые в топологии, очень многообразны. Я Как написать математическую статью по-английски - страница 4 советую:

  1. прочесть § 27;

  2. прочесть и сделать выписки из статьи неплохого геометра либо тополога по вашей специальности.

Тут я привожу только несколько образцов и замечаний.

49. ATTACH    ТО    BY   .

^ Attach the cell C Как написать математическую статью по-английски - страница 4ζ to Xn by the map ζ: Dn+1 → Xn.

Приклеим клеточку Cζ к «остову» Xn средством отображения ζ: Dn+1 → Xn.

50. CUT OUT    AND ATTACH    ALONG   .

Cut out the disk D2 from M and attach a Как написать математическую статью по-английски - страница 4 handle H2 along an orientation-preserving homeomorphism h: δD2 → δH.

Вырежем диск D2 из M и приклеим ручку H2 по сохраняющему ориентацию гомеоморфизму h: δD2 → δH.

51. PUT    IN GENERAL POSITION WITH RESPECT TO   .

Put the Как написать математическую статью по-английски - страница 4 smooth map φ in general position w.r.t. the submanifold Mk  Rn.

Приведём гладкое отображение φ в общее положение относительно подмногообразия Mk  Rn.

52.    BOUNDS    IN   .

The sphere Sn–1 bounds a disk Dn Как написать математическую статью по-английски - страница 4 in the space Rn.

Сфера Sn–1 ограничивает диск Dn в пространстве Rn.

Заметим (в связи с примером 52), что слово boundary по-английски значит как «границу», так и «край» (омонимия!); слово Как написать математическую статью по-английски - страница 4 же edge значит «ребро» (графа либо многогранника) и в смысле «край» (обилия) никогда в математических текстах не употребляется. В этой же связи обратим внимание читателя на слово span (существительное и глагол), не имеющее Как написать математическую статью по-английски - страница 4 аналога в российском языке и значащее (в глагольной форме) что-то вроде «натянуть на». Вот примеры его потребления.

53.    SPANS   .

The disk Δ spans the curve γ.

Диск Δ натянут на кривую γ.

54. LET    BE    THAT SPANS   .

^ Let Как написать математическую статью по-английски - страница 4 Δ be a singular disk that spans the curve γ.

Пусть Δ — сингулярный диск, натянутый на кривую γ.

Let L be the linear subspace that spans the vectors e1, ... , en.

Пусть L — линейное подпространство, натянутое на вектора Как написать математическую статью по-английски - страница 4 e1, ... , en.

В заключение, три нужных штампа для топологов.

55. LET    BE    JOINING    ТО   .

Let α: [0, 1] → X be a path joining a to b.

Пусть α: [0, 1] → X — путь, соединяющий a и b.

Let Как написать математическую статью по-английски - страница 4 Ft be a homotopy joining a to b.

Пусть Ft — гомотопия, соединяющая отображения a и b.

56. BY APPROPRIATELY MODIFYING   , WE CAN ASSUME THAT [  ].

^ By appropriately modifying the map  f , we can assume that Как написать математическую статью по-английски - страница 4 all singularities of  f  are canonical.

Модифицируя отображение  f  подходящим образом, мы можем считать каноническими все его сингулярности.

Последний штамп — для тех, кому проще нарисовать, чем разъяснить словами:

57. THE CONSTRUCTION of the map Как написать математическую статью по-английски - страница 4  f  IS SHOWN IN [Fig. 5].




^ Приложение II. Перечень ВВОДНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ И ИДИОМ


Вводные выражения (либо слова), тщательно описанные в § 13, коротко можно найти как группы слов, которые ставятся сначала предложения, синтаксически Как написать математическую статью по-английски - страница 4 не связаны с ним, но оказывают влияние на его семантику. В большинстве случаев употребляются suppose и then, которые обычно возникают поочередно (попорядку в 2-ух фразах). Приводимый ниже перечень организован в 26 групп семантически близких выражений.

Further Как написать математическую статью по-английски - страница 4, | Moreover, | Besides, | On the other хэнд, | Furthermore, | In addition, | Finally, | Also,

^ However | But | Nevertheless | At the same time | Now | On the other хэнд, | Still

Obviously, | Clearly, | Evidently, | Trivially, | It is obvious Как написать математическую статью по-английски - страница 4 that | It is clear that | It is readily seen that

It is easy to prove that | It can be proved that | It is easily shown that | We see that | It follows Как написать математическую статью по-английски - страница 4 easily that | It can easily be checked that | It is not hard to prove that

^ That is | In other words, | Equivalently, | This means that | In these terms, | In this notation, | In other Как написать математическую статью по-английски - страница 4 notation,

Therefore | Hence | Whence | Thus | It follows that | This implies that | This yields that | Consequently 16

In the converse case, | Otherwise | Conversely, | Assuming the converse,

Similarly, | In the same way, | For the Как написать математическую статью по-английски - страница 4 same reason, | By the same argument, | As before, | As above, | Likewise,

^ Let us prove that | Let us show that | We claim that | Let us check that | We shall prove that | We shall see Как написать математическую статью по-английски - страница 4 that | We shall show that

By assumption, | By the inductive hypothesis, | By the inductive assumption, | Suppose inductively that, | By the previous statement,

^ By definition, | By construction, | By the above

We may assume Как написать математическую статью по-английски - страница 4 that | It can be assumed that | Without loss of generality it can be assumed that | To be definite, assume that | For the sake of being definite, suppose | We can assume without loss Как написать математическую статью по-английски - страница 4 of generality that | To be precise,

^ For example, | In particular, | Specifically, | As an example, | For instance,

Note that | Notice that | Let us remark that | Note also that | We stress that

First | Secondly | Thirdly | First Как написать математическую статью по-английски - страница 4 we shall show that | Now we show that | Finally we shall show that

First note that | Now note that | Further note that | Finally note that

^ First let us prove that | Now Как написать математическую статью по-английски - страница 4 let us prove that | Finally let us prove that

It can be shown in the usual way that | It follows in the standard way that | We already know that

In general, | Generally, | In Как написать математическую статью по-английски - страница 4 the general case,

Here | In this case, | In our case,

^ Indeed, | In fact, | Namely | Actually

Recall that | Let us remember that

We have proved that | This proves that | This shows that | This Как написать математическую статью по-английски - страница 4 argument shows that

The reader will easily prove that | The reader will have no difficulty in showing that

^ In this paper we prove that | In this section we show that Как написать математическую статью по-английски - страница 4

Arguing as above, we see that | Continuing this line of reasoning, we see that

В прошлом перечне приводятся слова и выражения, не образующие грамматически замкнутые конструкции: они нуждаются в продолжении. Нижеследующий же перечень состоит Как написать математическую статью по-английски - страница 4 из замкнутых идиом, которые употребляются как цельные фразы без конфигураций и добавлений.

^ The proof is trivial.

The proof is omitted.

The proof is left to the reader.

The proof is straightforward.

The Как написать математическую статью по-английски - страница 4 proof is by direct calculation.

The proof is by reductio ad absurdum.

Assume the converse.

The aim of this paper is to prove the following result.

Our main result Как написать математическую статью по-английски - страница 4 is the following.

These results can be summarized as follows.

This paper is organized as follows.

We begin with definitions.

We begin with some notation.

First let us introduce some notation.

Now we Как написать математическую статью по-английски - страница 4 introduce the following concept.

This completes the proof.

This concludes the proof.

This contradition concludes the proof.

This will be discussed elsewhere.

This will be the object of another paper.




^ Приложение III Как написать математическую статью по-английски - страница 4. Перечень КОНСТРУКЦИЙ С ПРЕДЛОГАМИ


Начнём со перечня более ходовых таких конструкций:

at the point x:   в точке x,

replace x by y:   поменять x на y,

substitute y for x:   поменять x на y Как написать математическую статью по-английски - страница 4,

change x to y:   поменять x на y,

x belongs to X:   x принадлежит X,

X depends on α:   X находится в зависимости от α,

an tends to ∞ as n → ∞:   an стремится к ∞ при Как написать математическую статью по-английски - страница 4 n → ∞,

extend  f  to X:   продолжить  f  на X,

restrict  f  to AX:   ограничить  f  на AX,

f  ranges over X:    f  пробегает X,

polynomial in x:   полином относительно x,

function Как написать математическую статью по-английски - страница 4 of the variable x:   функция переменной x,

system of equations:   система уравнений.

Эти конструкции стоит уяснить. Последующие примеры сгруппированы по английским предлогам of, to, in, by, on, for, with Как написать математическую статью по-английски - страница 4, from, at, over, under, into, onto, along, as.

Может быть, читателю стоит выписать те конструкции, которые в большинстве случаев встречаются в текстах по его специальности. Очевидно, при всем этом общематематические определения (которыми я тут пробовал Как написать математическую статью по-английски - страница 4 ограничиться) можно подменять на их особые конкретизации, (к примеру, map → epimorphism, set → variety, structure → metric и т.п.); эти и подобные подмены не манят за собой конфигураций предлогов.

Ниже конструкции с предлогами Как написать математическую статью по-английски - страница 4 сгруппированы «с британского на русский», т.е. по английским предлогам, в ориентировочном частотном порядке: (1) = OF, (2) = TO, ..., (15) = ALONG. Для удобства поиска часть этого перечня потом представлена в оборотную сторону, с российского Как написать математическую статью по-английски - страница 4 на британский. Читателю следует подразумевать, что систематическое исследование этой 2-ой части — вредоносно (оно развивает «русскоязычное мышление» по отношению к английским предлогам), эту часть следует использовать только как справочный материал.

Сначала — более употребительный в британском Как написать математическую статью по-английски - страница 4 языке предлог of.

(1) OF
[обычно переводится пустым эмблемой + применением падежа «кого-чего»; время от времени переводится предлогами из, от, с, при и др.]

a function of  x:   функция переменной x,

a solution Как написать математическую статью по-английски - страница 4 of equation (2.1):   решение уравнения (2.1)
(допустимо и solution to (2.1)),

the set of all x:   огромное количество всех х,

one of the sets:   одно из множеств,

the class of functions:   класс функций,

a subset Как написать математическую статью по-английски - страница 4 of  Rn:   подмножество места Rn
(Осторожно: переводить «a subset of  X» как «подмножество X» нельзя: по-русски это выражение имеет два различных смысла! Подобные предостережения относятся к другим примерам с of. В предстоящем мы Как написать математическую статью по-английски - страница 4 помечаем «угаданные» слова последующими кавычками: « »),

closure of  X:   замыкание «пространства» X,

neighborhood of  x:   округа «точки» х,

subdivision of  М:   подразделение «PL-многообразия» M,

the sum of a and b Как написать математическую статью по-английски - страница 4:   сумма a и b,

the center of the circle:   центр окружности,

an equation of order n:   уравнение порядка n,

a system of equations:   система уравнений,

a group of transformations:   группа преобразований
(Допустимо и «transformation group Как написать математическую статью по-английски - страница 4», но не «equation system» и не «point neighborhood»; инверсии такового рода следует делать только если вы их встречали в натуральных текстах),

angle of rotation:   угол поворота,

consists of all points Как написать математическую статью по-английски - страница 4:   состоит из всех точек,

the mapping f  of  G:   отображение f  «области» G,

generalization of Theorem 2:   обобщение Теоремы 2,

is independent of  N:   не зависит от N
(Но: «is dependent on», а не «of »!),

transpose of Как написать математическую статью по-английски - страница 4 the matrix:   транспонированная матрица,

complex conjugate of  z:   «число», комплексно сопряженное с «числом» z.

Приведём несколько конструкций, где совместно с of  употребляются ещё и другие предлоги:

of dimension 2 over C:   размерности 2 над Как написать математическую статью по-английски - страница 4 C,

extension of φ by the identity on Rn\A:   продолжение «отображения» φ тождественным на Rn\A,

circle of center O and radius R:   окружность радиуса R с центром O,

coefficient of x3 in Как написать математическую статью по-английски - страница 4 p(x):   коэффициент при x3 в p(x),

rotation of F about x:   вращение «фигуры» F около точки x,

defined on all of X:   определено на всём X,

take Как написать математическую статью по-английски - страница 4 H in place of G:   возьмём Н в качестве G,

image of A under f :   образ «множества» А при «отображении»  f .


(2) TO
[переводится очень многообразно: падежом «кому-чему», предлогами к, на, до, в, с и Как написать математическую статью по-английски - страница 4 др.]

х belongs to X:   x принадлежит X,

change x to y:   заменим x на y,

x is equal to y:   x равен y,
(Допустимо и «x equals y», но Как написать математическую статью по-английски - страница 4 категорически нельзя «x equals to y»),

x corresponds to y:   x соответствует y,

f  takes x to y:    f  показывает x в y,

xn tends to 0:   xn стремится к 0,

x maps to y:   х Как написать математическую статью по-английски - страница 4 отображается в y,

l1 is parallel to l2:   l1 параллельна(о?) l1,

assign H*M to each M:   поставим в соответствие H*M каждому M,

relative to the topology T Как написать математическую статью по-английски - страница 4:   относительно топологии T,

l is tangent to S:   l касается S,

all primes up to 97:   все обыкновенные числа вплоть до 97,

attach a handle to М:   наклеить ручку к M,

restrict the map  f  to N Как написать математическую статью по-английски - страница 4:   ограничить отображение  f  на N,

extend the map  f  to W:   продолжить отображение  f  на W,

12 is relatively prime to 25:   12 взаимно просто с 25.

Приведём примеры потребления to в купе с другими Как написать математическую статью по-английски - страница 4 предлогами:

sum from 1 to n:   сумма от 1 до n,

integrate from a to b:   интегрируем от a до b,

f  is a map of X to Y:    f  — отображение X в Как написать математическую статью по-английски - страница 4 Y,

f  is a map from X to Y:    f  является отображением из X в Y,

the application of the lemma to this situation:   применение леммы к этой ситуации,

extend  f  to all Как написать математическую статью по-английски - страница 4 of  Rn by the identity:   продолжим  f  на всё Rn тождественным отображением,

the contribution of K to the...:   вклад K в...


(3) BY
[переводится падежом «кем-чем», предлогами на, через, по, посредством]

Н Как написать математическую статью по-английски - страница 4*(X) is determined (defined) by X:   Н*(X) определяется «пространством» X,

denote π2(X,Y) by A:   обозначим π2(X,Y) через A,

{xn} is majorized (bounded above) by x:   {xn} ограничена сверху «числом Как написать математическую статью по-английски - страница 4» x,

f  and g differ by C = const:    f  и g отличаются на C = const,

the homomorphism  f*  induced by  f :   гомоморфизм  f*, индуцированный «отображением»  f ,

dividing (multiplying) by x:   деля (умножая Как написать математическую статью по-английски - страница 4) на x,

φ is given by (2.3):   φ выходит из «формулы» (2.3),

X is generated by e1, ..., en:   X порождается «векторами» e1, ..., en,

by construction (definition, assumption):   по построению (определению, условию),

f  is approximated by { fn}:    f Как написать математическую статью по-английски - страница 4  аппроксимируется «последовательностью» { fn},

A is permuted by σ  Sn:   A переставляется «подстановкой» σ  Sn,

Lemma 1 is obtained (proved) by induction:   лемма 1 выходит (доказывается) по индукции,

rotation by the angle π/3:   поворот на угол π/3,

by putting (setting Как написать математическую статью по-английски - страница 4) x = 1:   полагая x = 1,

by the theorem, ...:   по аксиоме, ...

Дальше несколько конструкций, где by возникает с другими предлогами:

extend  f  by the identity to  f1:   продолжим «отображение»  f  тождественно до отображения Как написать математическую статью по-английски - страница 4  f1,

the extension of M by H:   расширение «модуля» M средством «модуля» H,

A is moved by finite number of shifts:   A переносится конечным числом сдвигов,

X is mapped by  f  to Как написать математическую статью по-английски - страница 4 Y:   X отображается средством  f  в Y.


(4) IN
[переводится предлогами в, относительно, по, от, время от времени падежом «кого-чего»]

x is contained in X:   x содержится в X,

M lies (is Как написать математическую статью по-английски - страница 4 embedded) in Rn:   M лежит (вложено) в Rn,

a polynomial in x:   полином относительно x,

A is everywhere dense in X:   A везде плотно в X,

X is compact in the weak topology:   X Как написать математическую статью по-английски - страница 4 компактно в слабенькой топологии,

in the case (ii),:   в случае (ii),

in the space (group, ...):   в пространстве (группе, ...),

A intersects В in a plane:   A пересекает B по плоскости,

symmetry in the Как написать математическую статью по-английски - страница 4 plane:   отражение относительно плоскости,

represent in the form:   представить в виде,

differentiation (integration) in t:   дифференцирование (интегрирование) по t,
(но лучше сказать differentiation with respect to t),

domain in Rn Как написать математическую статью по-английски - страница 4:   область в Rn,

take x in place of  y:   возьмём x заместо y,

the multiplier in the second term:   множитель второго члена.

Несколько конструкций, в каких in употребляется вместе с другими предлогами:

polynomial of Как написать математическую статью по-английски - страница 4 degree n in the variables x, y:   полином степени n от переменных x, y,

in transverse position with respect to M:   трансверсально относительно «многообразия» M,

in the sense of distributions Как написать математическую статью по-английски - страница 4:   в смысле обобщённых функций.


(5) ON
[почти всегда переводится предлогом на, время от времени о, с, по, от]

points on the curve:   точки на кривой,

points on the boundary:   точки на границе,

depends on:   находится в зависимости Как написать математическую статью по-английски - страница 4 от,

projection on:   проекция в,
либо на, но исключительно в тех случаях, когда проекция не сюръективна (ср. предлог onto),

the identity on:   тождество на,

function on the domain:   функция на Как написать математическую статью по-английски - страница 4 области,

metric (topology, structure, ...) on:   метрика (топология, структура, ...) на,

theorem on implicit functions:   аксиома о неявной функции
(почаще говорится theorem about, а в этом случае implicit function theorem),

graph on n vertices:   граф Как написать математическую статью по-английски - страница 4 с n верхушками,

terms on the diagonal:   члены, стоящие на искосок.


(6) FOR
[почти всегда переводится предлогом для, время от времени падежом «кого-чего», предлогами при, относительно, к]

boundedness condition for the function:   условие ограниченности для Как написать математическую статью по-английски - страница 4 функции,

a basis for the space:   базис места,

solved for y':   разрешенное относительно y',

the inverse for  f :   оборотное к  f 
(почаще говорится the inverse of  f ),

the problem for Как написать математическую статью по-английски - страница 4 H*:   задачка для H*,

Xn is compact for all n:   Xn компактно для всех n,

substitute x for y in (2.1):   заменим y на x в (2.1)
(это можно сказать и так: replace y by x Как написать математическую статью по-английски - страница 4 in (2.1); направьте внимание на порядок букв x и y!).


(7) OVER
[переводится предлогами над, по, на, падежом «кого-что»]

f  ranges over Im f :    f  пробегает Im f ,

n runs over all even Как написать математическую статью по-английски - страница 4 integers:   n пробегает все чётные числа,

integrating over M:   интегрируя по M,

vector space over R:   векторное место над R,

summing over all n:   суммируя по всем n,

cone over X:   конус над Как написать математическую статью по-английски - страница 4 X,

affine scheme over F:   аффинная схема на F,

fibration (bundle) over B:   расслоение над B,

module over the ring Z:   модуль над кольцом Z,

linearly independent over R Как написать математическую статью по-английски - страница 4:   линейно независимы над полем R,

continuous over all of  X:   непрерывна на всём X.


(8) UNDER
[переводится предлогами при, под, по]

under the action of  G:   под действием G,

under the condition:   при условии,

group under Как написать математическую статью по-английски - страница 4 multiplication:   группа по умножению,

under the map (morphism, ...):   при отображении (морфизме, ...),

invariant under shifts:   инвариантно при сдвигах,

Under вкупе с другими предлогами:

^ X projects on X under p:   X проектируется на Как написать математическую статью по-английски - страница 4 X при «отображении» p,

a maps to b under  f :   a отображается в b при отображении  f ,

the image of  X under  f :   образ «пространства» X при «отображении»  f .


(9) FROM
[переводится предлогами из, от Как написать математическую статью по-английски - страница 4]

follows from:   следует из,

subtracting from:   вычитая из,

moving away from the point:   двигая от точки,

bounded from above:   ограничено сверху,

determined from the initial data:   определённое из исходных данных,

functions Как написать математическую статью по-английски - страница 4 from the space:   функции из места.

From с другими предлогами:

at the distance of  h from X:   на расстоянии h от X,

integrate from a to b:   интегрируем от a до b.


(10) WITH
[переводится падежом Как написать математическую статью по-английски - страница 4 «кем-чем», предлогами с, на]

equipped with a metric:   снабжённое метрикой,

supplied with a norm:   снабжённое нормой,

coincides with:   совпадает с,

identified with:   отождествлённый с,

put into correspondence with Как написать математическую статью по-английски - страница 4 the group:   поставить в соответствие с группой,

angle of 60° with the plane:   угол 60° с плоскостью,

take the product with X:   взять произведение на X,

intersection of M with N:   скрещение M с N,

arcs Как написать математическую статью по-английски - страница 4 with small diameters:   дуги малых поперечников,

subspaces with finitely many components:   подпространства с конечным числом компонент,

fibration with fiber F and base B:   расслоение со слоем F и базой B.


(11) AS
[переводится предлогами при Как написать математическую статью по-английски - страница 4, как, выражениями в виде, в качестве]

as n → ∞:   при n → ∞,

regarded as a function:   рассматриваемая в качестве функции,

considered as a function:   рассматриваемая как функция,

viewed as a function:   рассматриваемая Как написать математическую статью по-английски - страница 4 как функция,

expressed as:   выраженная в виде.


(12) AT
[переводится предлогами в, на]

at the point:   в точке,

at time t:   в момент времени t,

at infinity:   на бесконечности, в бесконечности,

has at most two solutions Как написать математическую статью по-английски - страница 4:   имеет менее 2-ух решений.


(13) INTO
[переводится предлогами в, на]

decomposition into the product:   разложение в произведение,

divided into two classes:   разбито на два класса,

partitioned into:   разбито на.


(14) ONTO
[переводится предлогом на; употребляется Как написать математическую статью по-английски - страница 4 только тогда, когда необходимо выделить, что рассматривается сюръективное отображение]

the homeomorphism of  (0, 1) onto R:   гомеоморфизм интервала (0, 1) на всё R,

the projection (x, y) → (x, 0) of  R2 onto the x-axis Как написать математическую статью по-английски - страница 4:   проекция (x, y) → (x, 0) плоскости R2 на ось абсцисс.
Направьте внимание, что выражение projection on, обычно, употребляется, когда проекция не сюръективна.


(15) ALONG
[переводится словами повдоль, по направлению, время от времени падежом «кем-чем»]

х moves Как написать математическую статью по-английски - страница 4 along the curve:   x двигается повдоль кривой,

v is directed along...:   v ориентирован повдоль...,

derivation along v:   производная по направлению v,

pullback along the projection:   отображение, индуцированное проекцией.
Базовое (топологическое и общекатегорное) понятие Как написать математическую статью по-английски - страница 4 pullback почему-либо не имеет общеупотребительного перевода на российский язык; перевод «индуцированное отображение» неадекватен.


А сейчас выпишем всё это в оборотном порядке, т.е. с российского на британский. Начнём с Как написать математическую статью по-английски - страница 4 падежей.

(1) ^ РОДИТЕЛЬНЫЙ ПАДЕЖ («кого-чего»)
[обычно переводится предлогом OF, пореже TO]

класс функций:   class of  functions,

функция переменной x:   a function of  x,

округа точки x:   a neighborhood of  x
(другие примеры см Как написать математическую статью по-английски - страница 4. на OF),

l касается S:   l is tangent to S,

относительно метрики:   with respect to the metric,

дуги малых поперечников:   arcs with small diameters
(либо) arcs of small diameter.


(2) ^ ДАТЕЛЬНЫЙ ПАДЕЖ («кому-чему»)
[обычно Как написать математическую статью по-английски - страница 4 переводится предлогом TO]

x принадлежит X:   x belongs to X,

y соответствует x:   y corresponds to x.


(3) ВИНИТЕЛЬНЫЙ ПАДЕЖ («кем-чем»)
[обычно переводится предлогом BY, пореже WITH]

H*X определяется местом Как написать математическую статью по-английски - страница 4 X:   H*X is determined by the space X,

{ai} ограничено числом M:   {ai} is bounded by M,

снабжённое метрикой:   equipped with a metric,

продолжение  f  тождеством вне X:   extention of Как написать математическую статью по-английски - страница 4  f  by the identity outside X,

гомоморфизм, индуцированный  f :   the homomorphism induced by  f .


(4) В
[обычно переводится предлогом IN, также INTO, TO, BY, ON]

x содержится в X:   x is contained in X,

f  показывает X Как написать математическую статью по-английски - страница 4 в Y:    f  maps X into Y,

f  показывает x в y:    f  takes x to y,

в случае II:   in case II,

представить в виде:   represent in the form Как написать математическую статью по-английски - страница 4.


(5) НА
[обычно переводится предлогом ON, также TO, пореже ONTO, INTO, BY]

точки на кривой:   points on the curve,

метрика на пространстве:   metric on the space,

поменять на:   replace by,

поворот на угол Как написать математическую статью по-английски - страница 4 α:   rotation by the angle α,

отображение на всё Y:   map onto Y,

продолжение на X:   extention to X,

ограничение  f  на A:   restriction of  f  to A,

разбить на два класса:   partition into Как написать математическую статью по-английски - страница 4 two classes.


(6) ДЛЯ
[обычно переводится предлогом FOR]

задачка для когомологий:   the problem for cohomology,

Gn — абелева для всех n:   Gn is abelian for all n.


(7) НАД
[обычно переводится предлогом OVER]

конус над X:   cone over X,

расслоение Как написать математическую статью по-английски - страница 4 над B:   fiber bundle over B,

модуль над кольцом:   module over the ring.


(8) ПРИ
[переводится очень многообразно: AS, AT, FOR, UNDER]

an → 0 при n→∞:   an → 0 as n→∞,

образ при отображении:   image Как написать математическую статью по-английски - страница 4 under the map,

при условии:   under the condition,

f  определено при x>0:    f  is defined for x>0,

коэффициент при x3:   the coefficient at x3.


(9) ИЗ
[обычно переводится предлогами FROM и OF]

отображение Как написать математическую статью по-английски - страница 4 из X в Y:   map from X to Y,

вычитая из:   substracting from,

состоит из точек:   consists of (the) points,

одно из множеств:   one of the sets.


(10) С
[обычно переводится предлогом WITH, пореже Как написать математическую статью по-английски - страница 4 TO, ON]

угол с прямой:   angle with the line,

совпадает с:   coincides with,

взаимно просто с:   relatively prime to   либо   coprime to,

graph с n верхушками:   graph on n vertices.




^ Приложение IV. Эталон МАТЕМАТИЧЕСКОГО ТЕКСТА


Ниже Как написать математическую статью по-английски - страница 4 приводится пример простого (исходя из убеждений языка) британского математического текста, демонстрирующего неизменное внедрение более ходовых штампов. Этот текст появился в Минске, когда создатель читал лекции для студентов-второкурсников института Софуса Ли, сразу Как написать математическую статью по-английски - страница 4 изучающих британский язык и арифметику. Он был записан и издан самими студентами в порядке обучения ещё одной премудрости — набору в TeX'е.




kak-nado-potreblyat-frukti.html
kak-nahodyat-adres-v-okeane.html
kak-najti-kachestva-kotorimi-mozhno-voshishatsya-helen-andelin.html